Popüler Matematik:
Bukalemunlar...
İhsan YÜCEL, ihsan_einstein@yahoo.com
" Bir matematik problemine dalıp gitmekten daha büyük mutluluk yoktur."
C.Morley
-2004-IV sayısının 107’inci sayfasında Eureka köşesinde ‘Bukalemunlar’ başlığı altında bir soru sorulmuştu. Dört dörtlük bir mantık ve düşünme egzersizi olan bu sorunun MD 2005-I’ deki çözümün kısa olarak verilmesinin, sorunun orijinalliğini gölgelediği için tekrardan ele alarak biraz daha derinlemesine incelemeye çalışacağız. Yazımızın sonunda ‘Bu bir süper problemdir’ cümlesinin manasını çıkartacağınızı düşünüyorum. Şimdi sorumuzu tekrar anımsayalım:☺
Bir adaya 45 bukalemun götürülüyor. Bunlardan on yedisi kahverengi, on beşi yeşil ve on üçü sarı. Bukalemunlar adada serbest dolaşıyor ve arada bir birbirlerine rastlıyorlar. Her karşılaşmada sadece iki bukalemun bulunuyor. Farklı renkten iki bukalemun karşılaşınca, ikisi de renk değiştirip üçüncü rengi alıyorlar. Mesela, sarı ve kahverengi iki bukalemun karşılaşınca, ikisi de birdenbire yeşil oluveriyor. Aynı renkte iki bukalemun buluşursa hiçbir değişiklik olmuyor. Bir süre sonra adadaki bütün bukalemunların aynı renkte olması mümkün mü?
Hayır, bu olanaksızdır. Çözüm yoktur, yani bütün bukalemunlar aynı rengi alamaz. Önce şunu anlayalım: Başlangıç durumu 13, 15, 17 iken, farklı renklerden bukalemunların her karşılaşmasında bu üç sayıdan ikisi 1 azalacak, birisi 2 artacaktır(örneğin, 13 sarı, 15 beyaz ve 17 kırmızı bukalemun varken bir sarı ile bir kırmızı karşılaşınca 12 sarı, 17 beyaz ve 16 kırmızı bukalemun olacaktır). Toplam daima 13+15+17=45 sabittir. İspatlamak istediğimiz (45, 0, 0), (0, 45, 0) veya (0, 0, 45) durumlarının olanaksız olduğudur. Sarıların sayısına s, beyazların b ve kırmızıların k diyelim. Başlangıç durumu (s, b, k) dır; şimdi şu üç durumdan biri oluşmak zorundadır: [(s-1), (b-1), (k+2)], [(s+2), (b-1), (k-1)], [(s-1), (b+2), (k-1)].Bir invariyant(değişmez) arıyoruz. Köşeli parantez içindeki 1. Ve 2. Parantezlerin farkını alalım;
(s-1)-(b-1)=(s-b)+3 ve (s-1)-(b+2)=(s-b)-3. Ne bulduk? (s-b), (s-b)+3 ve (s-b)-3. Başlangıç terimler s,b ve k ve 1. ve 2. terimin farkı (s-b) idi. O halde yaptığımız operasyonlar sonucu 1. Ve 2. terim farkı ya aynı kaldı(yani sıfır arttı) ya 3 arttı veya 3 eksildi. Her üç olasılıkta da söz konusu fark 3 modülüne göre sıfırdır.
İşte invariyantımız:
0 ≡ 0(mod3); 3 ≡ 0(mod3) ve –3 ≡ 0(mod3).
Buna karşı başlangıçta s-b=13-15=-2≡(mod3) idi. Görülüyor ki aynı invariyantı baştan sona götüremiyoruz; o halde çözüm yok.
Viviani Teoremi. Bir eşkenar üçgenin içinde alınan
isteksel bir noktadan kenarlara inen dikmelerin
toplamı, eşkenar üçgenin bir yüksekliğine eşittir.
Kanıt. Alınan nokta P olsun. P noktası köşelere
birleştirilirse oluşan APB, BPC ve CPA üçgenlerinin
alanlarının toplamı eşkenar üçgenin alanını verir.
Alan(ABP) = ax/2, Alan(BPC) = ay/2,
Alan((CPA) = az/2 değerleri toplanır ve ah/2’ye
eşitlenirse x + y + z = h bulunur.
|
Şimdi problemimizin geometrik yorumuna gelelim. s + b + k = p sabittir(p=45). O halde yüksekliği p olan bir eşkenar üçgen alırsam, başlangıç durumunu, kenarlardan uzaklığı s, b ve k olan bir 0 noktası ile gösterebilirim(s + b + k = p = yükseklik)(Bkz. Gri kutuda ki Viviani Teoremi). Her operasyonda 0 noktasının kenarların birinden uzaklığı 2 artarken diğer iki kenarın her birinden uzaklığı 1 azalacaktır. Her birinin yüksekliği 1 olan S2 eşkenar üçgenden yapılmış çok büyük bir eşkenar üçgen düşünelim(şekil2). Yerimiz dar olduğundan 452=2025 eşkenar üçgen içeren bir eşkenar üçgen yerine,92=81 eşkenar üçgen içeren bir büyük eşkenar üçgen alalım. s’i 45 yerine 9 olarak aldık, o halde terimlerimiz bu kez 13, 15, 17 yerine 1, 3 ve 5‘dir(1+3+5=9). Belli ki küçük üçgenlerin köşeleri, toplamı s olan tamsayı trio’larına karşılıktır. Köşelerin birinden operasyonlarımızın sonucu olarak 2 birim uzunluğunda bir ok uzatalım; geldiğimiz köşeden yine 2 birim uzunluğunda bir ok uzatalım ve buna devam edelim(Okun uzunluğunun neden 2 birim olması gerektiği şekil 1’de görülüyor).
Bütün bu kırmızı oklar, kenarları 2 olan yeni bir eşkenar üçgen ağı oluşturur. Bu kırmızı üçgen ağının köşeleri, başlangıç durumundan (13, 15, 17) kurallara uyarak oluşan tam sayı trio’larına karşılıktır. Kolayca görülüyor ki herhangi bir kırmızı noktadan oklarla diğer kırmızı noktalara gidilebilir. Benzerlik yoluyla kanıtlanabilir ki mavi noktalardan başlanarak mavi oklar çıkılabilir ve kenarları 2 olan bir mavi eşkenar üçgenler ağı yaratılabilir; yeşil noktalardan başlanarak aynı şey yapılabilir. Şekil karışmasın diye mavi ve yeşil oklar konulmamıştır. Köşelerdeki tam sayıların 3 ile bölünmesinden artan sayıya r dersek (yani köşelerdeki tam sayıları 3 modülüne göre yazarsak), bellidir ki kırmızı noktalar için r = 0, yeşiller için r = 1 ve maviler için r = 2 olacaktır.[13 ≡ 1(mod3), 15 ≡ 0(mod3) ve 17 ≡ 2(mod3) veya 1 ≡ 1(mod3),
3 ≡ 0(mod3) ve 5 ≡ 2(mod3)]. s, 3’ün katı ise (burada 45 veya 9, 3’ün katı idi) büyük üçgenin köşeleri r = 0 olacaktır ve buralara yalnız r = 0 olan noktalardan (kırmızı noktalar) erişilecektir. S, 3 ile bölünmezse büyük üçgenin köşelerinden biri r = 0(kırmızı), biri r = 1(yeşil) ve biri de
Selçuk Alsan’dan bir mektup var!
(Matematik Dünyası Dergisi, Nisan 1994/Cilt:4/Sayı:2)
Matematik Dünyası Yazı Kuruluna, Aralık 1993’te yayınlanan Y71-Y75 numaralı 5 problemi çözmüş bulunuyorum. Sizlere bu gibi problemler hazırladığınız için sonsuz teşekkürlerimi sunarım. Ben deha yaratılamaz, ama geliştirilebilir sözüne inanıyorum. Sizler ülkemizin yetenekli beyinlerini geliştiriyorsunuz. Ünlü matematikçi Jacobi, ‘neden matematiği seçtiniz?’ diye soranlara ‘insan aklına şeref vermek için’ demiş.
Problemler çok iyi seçilmiş, tek kelimeyle nefis. Sağolun, varolun.
Doç.Dr.Selçuk Alsan
TÜBİTAK Tıp Enformasyon Başuzmanı, Atatürk Bulvarı, No.221, Ankara
Bilim ve Teknik Dergisi Zeka Oyunları köşesi aylık yazarı(22 yıllık bir emek) |
r = 2(mavi) olacaktır; bu durumda herhangi bir noktadan (s, b, k) yalnızca tek bir köşeye gidilebilir. ♠
