Popüler Matematik, 2007
Geometri
İhsan YÜCEL
İhsan_einstein@yahoo.com
Malfatti Çemberleri ve ...
alfatti Çemberlerini türkçe literatüre ilk defa Matematik Dünyası Dergisi’nde(1993/syf-6) ele alarak okuyucuların huzuruna sunan Prof.Dr.Cem Tezer’in 1993 yılındaki yazısının başlangıcında sunduğu problemle yazımıza başlayalım:
‘’Herhangi bir maddeden, mesela, mermerden yapılmış bir üçgen dik prizmadan en az malzeme ziyan olacak şekilde üç dairesel dik silindir nasıl çıkarılır?’’
Elbette ki bu üç boyutlu sunuş aslında gereksizdir. Örneğin prizma yerine, onun eksenine dik bir düzlem üzerine dik izdüşümü olan üçgen, silindir yerine de gene aynı şekilde elde edilmiş bir çember alınabilir. O zaman problem, verilen bir üçgen içine alanları toplamı en büyük olacak şekilde birbirinin ‘üzerine çıkmayan’ üç çemberin nasıl yerleştirileceği problemidir.
Malfatti’nin 200 yıllık sorusunu kısaca:
‘’Herhangi bir üçgenin içine her çember diğer iki çembere dıştan teğet ve her biri üçgenin ilgili iki kenarına içten teğet olan üç çemberi Euclides Geometrisi ile (yalnız pergel ve cetvel kullanarak ) çiziniz.’’ olarak anlatabiliriz.
Aslında bu problem birçok matematikçi tarafından çözüldü.(?)
Sonra 1930’da şu gösterildi; bir eşkenar üçgende eğer kolonlardan biri iç daire(incircle) ve diğerleri teğet iki daha küçük daire olarak seçilirse, toplam daire alanında sağlanan artış çok az(üçgen alanının %1’i) olsa bile, daha az mermer israf edilmektedir.
Otuzbeş yıl sonra (matematikçiler bazen çok yavaştır) Howard Eves ince uzun üçgenlerde şu çözümün en iyisi olduğunu bildirdi:
Nihayet 1967’de Michael Goldberg, bulunan ilk çözümün en iyi çözüm olmadığını kanıtladı: dairelerin alternatif dizilişlerinin birinde alan maksimum olmaktadır.
[Referans: C. Stanley Ogilvy, Ezcursions in Geometry, Oxford University Press, New York, 1969.]
201 yıllık problemi bir Türk çözdü!
Evet yanlış okumadınız! 2003 senesinde hem görsel hem de yazılı basında büyük yankı uyandıran İtalyan matematikçi Gianfrancesco Malfatti’nin 1803 tarihli matematik problemini 201 yıl sonra Türkiye’den bir matematik öğretmeni çözdü. Emekli matematik öğretmeni Mustafa Töngemen’in 7 yıl uğraşarak bulduğu yanıtı TÜBİTAK onayladı.
İtalyan matematikçi Malfatti’nin 201 yıllık problemi üç çemberi bir üçgen içine içten teğet olarak yerleştirmeyi amaçlıyor. Probleme çözüm arayan matematik öğretmeni Mustafa Töngemen, 7 yıldan beri problemi çözmek için çalışıyordu. Çözüm için her gün 2 saat uğraşan Töngemen, geçen yıl soruyu çözmeyi başardı. Töngemen, çözümünün uluslararası kurumlar tarafından onaylamasını bekliyor.
Kendisinin yine 2003 senesinde NTV’ye yaptığı açıklama ise şöyleydi:
“1993’te üç çember için 6 çember kullandım, 6 çemberi 9’a çıkardım. Uğraştım olmadı, sonra köşede bir çember çizdim. Bu çemberden yola çıkarak işlem yaptım ve o çember bana çözümü getirdi. Bir ağustos cuma günü yazlıktaki balkonda, saat 19.40’da kalemi elimden attım, ‘çözdüm’ diye bağırdım.”
TÜBİTAK ÇÖZÜMÜ ONAYLADI
Bulduğu çözümün doğruluğunu onaylatmak için Töngemen bazı üniversitelerle temaslara geçti. Mektup yazdığı Cumhurbaşkanlığı Töngemen’i TÜBİTAK’a yönlendirdi. TÜBİTAK şimdilik çözümü onayladı.
TÜBİTAK’ın onayladığı çözüm:
a) ABC üçgeninin iç açıortaylarının kesim noktası O1,
b) OBC, OAC ve OAB üçgenlerinin iç açıortaylarının kesim noktaları sırasıyla O1, O2 ve O3,
c) [O1O2 ]’nin orta dikmesi ile C noktasından [CO]’ya çizilen dikmenin kesim noktası Ç olsun.
d) [ÇO2Ç[AO] = {M1 }. M1 noktası [AB] ve [AC]’ye teğet olan Malfatti Çemberi’nin merkezidir. (Ayrıca [ÇO1Ç[BO] = {M2}. M2 noktası [BA] ve [BC]’ye teğet olan Malfatti Çemberi’nin merkezidir. Bu merkezi (g)’de açıklandığı biçimde de bulunuyor.)
e) [O2Y]^[AC] ve [O3 Z]^[AB] çiz.
f) M1 merkezli Malfatti Çemberini çiz. Bu çember üzerinde |YF|=|YH| ve |ZG|=|ZX| olacak şekilde F ve G noktaları bulunur.
g) [ M1GÇ[BO]={M2} ve [M1FÇ[CO]={M3} olmak üzere M2 ve M3 merkezli Malfatti Çemberi çizilir.
Bu çözüm çeşitkenar, ikizkenar ve eşkenar olmak üzere bütün üçgenler için doğrudur.
Son durum...
Aslında Mustafa Töngemen Hoca 7 yıl belirli periyodlarla soruya kafa yorup çözmüş olsa da 4 yılı aşkın bir zamandır bu çözümü onaylatmak için uğraş veren hocamızı İTALYA' dan aramışlar ve Malfatti'yi anma töreninin de bulunması için bir teklif sunmuşlar!..
Bu güzel haberin müjdesini vermek bana nasip olduğu için ayrıca gurur duyduğumu da bilesiniz.J (kendisiyle telefonda görüştüm. Tarih: 03.07.2007;Saat:18.53)
Bu haberin ayrıntılarını L’adige gazetesinde bulabilirsiniz.
‘’...Fra i tanti, ci si è provato ultimamente anche un insegnante di matematica turco, che ci ha lavorato alcuni anni: Mustafà Töngemen. Venuto casualmente a conoscenza del tema, lo ha affrontato con le armi classiche dello studioso di geometria: ...’’ haberin ayrıntılarını
http://www.trentinocultura.net/orizzonti/notizie/Anno-2007/malfatti.doc_cvt.asp linkinden de öğrenebilirsiniz.[Bunun için italyancanızın olması gerek şart...]
* * *
Ne diyelim darısı diğer matematik öğretmenlerimize(genç)...
Kaynaklar:
[1] http://www.geomania.org/forum/Default.aspx?g=posts&t=66
[2] http://www.nokta2000.com/mustafatongemen.asp
[3] http://www.ntvmsnbc.com/news/270762.asp
[4] Well, David,’’Geometrinin Gizli Dünyası’’,Çeviren:Selçuk Alsan,Doruk Yayınları, syf.213.
[5] Matematik Dünyası Cilt 3, Sayı 1 (1993) 6-10
| 