Matematik Linkleri

Ayın Matematik Sorusu[Ocak-2007]

Thu, 04 Jan 2007 18:27:00 +0200

*******************************************************

Soru. cos1 in irrasyonel olduğunu ispatlayın.

*************************************************

Not: Çözümlerinizi 29 Ocak 2007 tarihine kadar ihsan_einstein@yahoo.com e-posta adresine yollayabilirsiniz.
.. ( devamı )

Yarışmalar

Thu, 04 Jan 2007 18:10:00 +0200

Ülkemizde TÜBİTAK bünyesinde düzenlenen ulusal bilim olimpiyatlarından Matematik Olimpiyatları son yıllarda özellikle de ülkemizde önemli ölçüde ilgi görmeye başladı.

Çağımızda hemen-hemen tüm ülkelerde matematik eğitimine ve dolayısıyla matematiğin gelişmesine çok önem veriliyor. Matematik eğitiminde en çok neye özen gösterilmelidir? sorusuna hiç düşünmeden temele- lise eğitimine özen göstermek gerekir yanıtını veriyoruz. Bununla neyi kastediyoruz? Bununla şunu vurgulamak istiyoruz ki, geleceğin büyük matematikçileri şimdiki lise öğrencileri arasındadır ve bu küçük dahileri bir an önce keşfederek ortaya çıkarmak ve eşsiz yeteneklerinin düzgün ve doğru yönlendirilmesini sağlamak gerekmektedir. İşte bu yeteneklerin keşfedilmesinde ve yönlendirilmesinde en etkin araçlardan biri Matematik Olimpiyatları dır.

Dünyanın bir çok ülkesindeki genç ve ünlü matematikçilerin büyük kısmı bu ülkelerin (belik de dünyanın) eski Matematik Olimpiyatları şampiyonudur. İşte bu yukarıda anlattığımız yükümlülükler çerçevesinde bu sayfada hem ulusal hem de uluslararası olimpiyatlarla ilgili haberleri yine bu sayfada açıklayacağız ve sizlerle hep beraber paylaşacağız. İsterseniz bu olimpiyatları biraz daha açarak ne tür yarışmalar düzenlendiğine bir bakalım...

ÖZEL YARIŞMALAR

Antalya Akdeniz Matematik Olimpiyatları

İstanbul Cahit Arf Matematik Yarışması

RESMİ YARIŞMALAR

1. Aşama Sınavı

2. A.. ( devamı )

Olimpiyat Soru Arşivi-7

Thu, 04 Jan 2007 18:07:00 +0200

Soru : Toplamları 61 olan sayıların çarpımının en büyük değeri nedir?

Çözüm : Burada sayıların doğal sayı olması gerektiğinden söz edilmemiş.Böyle bir kısıtlama olsaydı, 61 (n = 3x + 1, xÎ N) formunda bir doğal sayı olduğundan, çarpımın en yüksek değeri (2^2).(3^19) = 4648045868 olacaktı.Şimdi de reel sayıların olduğu genel duruma bakalım.

Aritmetik Ortalama - Geometrik Ortalama eşitsizliği der ki, negatif olmayan n tane reel sayının aritmetik ortalaması, bu sayıların geometrik ortalamasından büyük veya bu ortalamaya eşittir.Eşitlik ise ancak tüm sayıların birbirine eşit olduğu durumda mümkündür.Dolayısıyla toplamı 61 olan sayıların çarpımı, aynı zamanda y = (61/x)^x, xÎ Z değerine eşit olmalıdır.

Her iki tarafın doğal logaritmasını alıp türev alma işlemini uyguladığımızda,

ln y = x.ln (61/x)

ln y = x.(ln 61 - ln x)

(1/y).y' =ln 61 - ln x 1

y' = ((61/x)^x)/y

y' = ((61/x)^x)( ln 61 - ln x 1) elde ederiz.

Burada birinci türevi sıfır yapan x = 61/e = 22.44 değeri maksimumdur.Ancak biz 61 sayısını bir tamsayıya bölmek zorundayız.Bu durumda bu tamsayı için olası değerler, yukarıda verilen sayıya en yakın olan 22 ve 23 tür.İki sayıyı denedikten sonra görülür ki, toplamları 61 olan sayıların çarpımının en büyük degeri

Olimpiyat Soru Arşivi-6

Thu, 04 Jan 2007 18:03:00 +0200

SORU: (a-b)³+(b- Ia-bI+Ib-cI+Ic-aI ifadesinin minimum c)³+(c-a)³=60 eşitliğini sağlayan a,b ve c tamsayıları için ve maksimum değerlerini bulunuz.

ÇÖZÜM: Parantezleri açtıktan sonra verilen denklemin kolaylıkla aşağıdaki denkleme indirgenebildiği görülür:

60 = 3(-xz²-zy²+z²y-x²y+x²z-xy²) .Yandaki ifadede parantez in içerisine xyz ekleyip çıkaralım.

20 = xyz-xz²-zy²+z²y-x²y+x²z-xy²-xyz

= xz(y-z)-zy(y-z)-x²(y-z)-xy(y-z)

= (y-z)(xz-zy-x²-xy)

= (y-z)[z(x-y)-x(x-y)]

= (y-z)(x-y)(z-x) bulunur.

x-y =a, y-z=b ve z-x=c denirse, şöyle bir denklemler sistemi elde edilir:

x-y =a a.b.c= 20

y-z= b a+b+c=0

+ z-x= c

0=a+b+c dir.

Birinci denklemin sağlanması için a,b ve c sayıları ya ± 1,± 1± 20 , ± 1± 2± 10 ,± 1± 5± 4 ,± 2± 2± 5 üçlülerinden olmak zorundadır.

Fakat 20>1+1, 10>1+2, 5>2+2 olmasından dolayı, yukarıdaki üçlülerden değerler alan a,b ve c için a+b+c=0 eşitliği sağlanamaz. Sadece 1,4,5 üçlüsü sağlar.

Soruda bizden i.. ( devamı )

Seçme Linkler[www.mathlinks.ro]

Thu, 04 Jan 2007 17:59:00 +0200

http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=31921

http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=47268

http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=43010

http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=31831

http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=46765

http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=46732

http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=46615

http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=67307

http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=60810

http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=67419

http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=66708

Olimpiyat Soru Arşivi-5

Wed, 03 Jan 2007 10:19:00 +0200

xn + yn = (x + y)m denkleminin tamsayılarda m >1, n > 1, x > y > 0 şartını sağlayan tek çözümü olduğunu gösteriniz.

Çözüm: xn + yn = (x + y)m ve x + y = k olsun. Bu ifademizin gerçekleşmesi için n≥m olmalıdır.

xn + yn ≤ (x + y)m = K(n,0) xn + K(n,1) xn-1 y + . . .+ K(n,n) yn . Eşitlik son ifadeden de görüldüğü

gibi mümkün değildir. Yani n>m olmalıdır.

İkinci bir şart olarak denklemimizin çözüm kümesini tamsayılar kümesinde istendiği için,

n ve m sayılarımızı birbirine çok yakın seçmemiz gerekir yani ardışık olmalıdır.

Yani n = m+1 şeklinde seçmemiz gerekir.

Şimdi üçüncü bir şart olarak x + y = k toplamında (xm+1 + ym+1) ifadesinin maksimum seçmeliyiz ki eşitlik durumu söz konusu olabilsin. x > y > 0 olduğundan dolayı y = 1 ise x = (k 1) olur. Denklem de yerine yazarsak ; (k-1)m+1 + 1m+1 = km è km (k-1)m+1 = 1. Şimdi değerler vererek

eşitliğimiz hakkında bazı yargılara varalım.

m>1 olduğundan

m = 2 dersek, eşitliğimiz k2 (k-1)3 = 1 olur. k > 3 durumlarını inceleyelim.

a) k = 4 için, 16 27 = -11 ve 11 ≠ 1 olduğundan sağlamaz.

b) k = 5 için, 25 64 = -39 ve 39 ≠ 1 olduğundan sağlamaz.

c) k = 6 için, 36 125 = -89 ve 89 ≠ 1 olduğundan sağlamaz.
.. ( devamı )

Olimpiyat Soru Arşivi-4

Wed, 03 Jan 2007 18:14:00 +0200

ABC üçgeninin BC kenarı üzerinde m(BAD)=m(CAE) şartını sağlayan D,E noktaları alınıyor. M ve N sırasıyla ABD ve ACE iç teğet çemberlerinin BCye teğet oldukları noktalar olsun. 1/BM + 1/MD = 1/NC + 1/NE olduğunu gösteriniz.

Çözüm.

Soruda bizden istenen ifadeyi biraz daha açalım.
1/MB + 1/MD = (MB + MD)/(MB . MD) = BD/(MB . MD) . . . (1)

1/NC + 1/NE = (NE + NC)/(NE . NC) = EC/(NE . NC) . . . (2) (1) ve (2) den

BD . NE . NC = CE . MB . MD

Şimdi ABE ve ADC üçgenlerine sırayla sinüs teoremini uygulayalım.

C/sin(a+c) = BE/sin(a+d) ; b/sin(a+b) = DC/sin(a+d) . Bu iki ifadeyi taraf tarafa bölersek,

c/b . sin(a+b)/sin(a+c) = BE/DC . . . (3)

Şimdi de ABD ve AEC üçgenlerine sırasıyla sinüs teoremini uygulayalım.

c/sin(a+b) = BD/sin(a) ; b/sin(a+c) = EC/sin(a) . Bu iki ifadeyi de taraf tarafa bölersek

c/b . sin(a+c)/sin(a+b) = BD/EC . . . (4) bulunur. (3) ve (4) ü taraf tarafa çarparsak,

c/b . sin(a+c)/sin(a+b) . c/b . sin(a+b)/sin(a+c) = BD/EC . BE/DC

c2 / b2 = (BD . BE)/(EC . DC) bulunur. . . (5)

3.) Şimdi ABD üçgeninde teğet özelliğini kullanarak ;

Olimpiyat Soru Arşivi-3

Wed, 03 Jan 2007 21:43:00 +0200

.. ( devamı )

Olimpiyat Soru Arşivi-2

Wed, 03 Jan 2007 21:36:00 +0200

.. ( devamı )

Olimpiyat Soru Arşivi-1

Wed, 03 Jan 2007 10:29:00 +0200

Problem. 0 ≤ x < 13, 0 ≤ y < 13, 0 ≤ z < 13 olmak üzere

x - yz2 = 1(mod13)

xz + y = 4(mod13)

denklik sistemini sağlayan kaç (x, y, z) tamsayı üçlüsü vardır? [TÜBİTAK 2006]

Çözüm. Bu tür modül sorularının dierğ sorulardan farkı belli bir çözüm tekniğinin olmayışıdır. Zaten Tübitakın da bu tür soruların ne denli uğraştırdığını bildiğinden çok çeşitli sorular üretip soru olarak karşımıza çıkmaktadır. Bu soruda işlemlerimizi z ye göre ele alıp çözüme gitmeye çalışacağız. Şimdi adım adım soruyu çözüme kavuşturmaya çalışalım.

z = 0 ; (Her iki kongrüans denkleminde yerine yazarsak tek bir çözüm ikilisi karşımıza çıkar.

(x, y, z)=(1, 4,0)

2.) z = 1 ; x y ≡ 1(mod13)

x + y ≡ 4(mod13)

Her iki kongrüans denklemi y leri yokedecek şekilde sadeleştirirsek,

2x≡5(mod13) karşımıza çıkar.Soruda bizden istenen esas ifadeyi incelersek, çözm kümesindeki elemanlar istenmiyor aksine çözüm üçlülerinin sayısı soruluyor. Yani bu demek oluyor ki başvuracağımız teknik biraz daha kısa olması gerekmektedir.

ax≡b(modc) kongrüans denkleminin çözüm kümesinin yeter şartı (a, c)= d[a ile c nin ebob u] ve d / c[d böler c] ise denklemin Zc de çözümü mevcuttur diyebiliriz. Şimdi bu kuralımıza göre denklemlerimizi incelemeye başlayalım.

(2,13)=1 ve 1/5 olduğundan bir tek çöz.. ( devamı )

Bir Doğal Sayının Bir Tabana Göre Yazılması

Wed, 03 Jan 2007 18:53:00 +0200

Yazımıza iki anlaşılır soru ile başlayalım.

Soru 1. 97 doğal sayısını beş tabanına göre yazınız?

Soru 2. 0,3 sayısının yedi tabanındaki karşılığı nedir?

Çözüm 1. Aşağıdaki işlemleri inceleyelim.

Buna göre, 97 =(342)beş dir. 97 = (25 + 25 + 25) + (5 + 5 + 5 + 5) + (1 + 1) = (342)beş

3 tane 4 tane 2 tane

Çözüm 2. 3/10 = a1 /7 + a2 /72 + a3 /73 + ... olacak şekilde a1, a2, a3, ... tanımlanabilir.

a1 değerini bulmak için eşitliği 7 ile genişletelim.

3 . 7/10 = 21/10 = 2 + 1 /10 = a1 + a2 /7 + a3 /72 + ..., a1 = 2 dir.

a2 değerini bulmak için yine 7 ile genişletelim.

1 . 7/10 = 7/10 = 0 + 7 /10 = a2 + a3 /7 + a4 /72 + ... , a2 = 0 dır.

Aynı şekilde devam edilirse,

7 . 7 /10 = 49/10 = 4 + 9/10 = a3 + a4 /7 + ... , öyle ki a3 = 4,

9 . 7/10 = 63/10 = 6 + 3/10 = a.. ( devamı )

Olasılık Sorusundan Analize Geçiş

Wed, 03 Jan 2007 18:51:01 +0200

Arkadaşlar yazımızın temelini oluşturan olasılık sorumuza bakarak nasıl bir cebir sorusuna dönüştüğünü hep beraber gözlemleyeceğiz. İsterseniz sorumuza bakalım;

Soru. Bir merdiven başındasınız. Her seferinde ya %50 olasılıkla bir basamak yukarı ya da %50 olasılıkla sıçrayıp aradaki basamağı atlayarak iki basamak birden yukarı çıkıyorsunuz. 512. basamağa basma olasılığı yaklaşık olarak kaçtır?

Çözüm. Başlangıç itibariyle soruya yaklaşım metodumuz nasıl olmalıdır? İlk başta bunu tayin etmeliyiz. Soruya çözüm mantığı olarak sondan mı, yoksa baştan mı başlamalıyız? Sondan başlamamız daha uygun olacaktır. Nedenini sorarsanız vakit kaybetmeden açıklamaya çalışalım. Soruda verilen basamak sayısı 512. basamak olarak belirtilmiş fakat biz bunu genel bir ifade şeklinde kurgulayarak çözmeye çalışacağız. Bu nedenle de basamak sayısına n diyeceğiz ve n. basamağa basma olasılığını da xn olarak simgeleyeceğiz. Burada n. basamağa iki yolla gelebiliriz. Bu durumlara bir bakalım.

Durum. (n 1). Basamağa gelmişsinizdir ve bir tek basamak çıkarsınız; ya da
Durum. (n 2). Basamağa gelmişsinizdir ve iki basamak çıkarsınız. Bu olasılıkları

dikkate alarak,

Durumun gerçekleşme olasılığı = xn-1 . 1/2.

Matematik Soruları

Wed, 03 Jan 2007 18:47:01 +0200

Düzenleyen: İhsan YÜCEL/

www.bilimadami.net

ihsan_einstein@yahoo.com

1. n5 = 1335 + 1105 + 845 + 275 denkleminde n = ?

2. n > 1 ise x49 = x (modn) x = ?

3. (cosx)2 + (cos2x)2 + (cos3x)2 = 1 denklemi çözünüz. (IMO 1962 )

4. logÖ (0,333...) Ö (0,037037...) = ?

5. (tan((3p )/11) + 4sin((2p )/11))2 = ?

6. tan(p /13).tan((2p )/13).tan((3p )/13).tan((4p )/13).tan((5p )/13).tan((6p )/13) = ?

7. Ö (4 + Ö (4 - Ö (4 + Ö (4 - x)))) = x ise x=?

8. 105x + 29y 1 = 0 denklemini tamsayılarda çözünüz?

9. a.b ¹ 0
    sinx + siny = a ve cosx + cosy = b ise sin(x+y) ifadesinin a ve b cinsinden eşiti ne olur?

10. Bir ABC üçgeninde aşağıdaki bağıntıyı gerçeklediğini kanıtlayın.

     cot(A/2) = (sinB + sinC)/(cosB + cosC)

11. z karmaşık sayı olmak üzere,
      z2 + 2iz + 2 - 4i = 0 [i = Ö (-1)] karmaşık sayılarda çözünüz.

Faydalı Linkler

Wed, 03 Jan 2007 18:33:00 +0200

www.tubitak.gov.tr

olympiads.win.tue.nl/imo

www.kalva.demon.co.uk

www.imo2004.gr

www.matematikdunyasi.org

.. ( devamı )

Meraklılarına Matematik

Malfatti Çemberleri

Solucan Diğer Uca Varabilir mi?

Bukalemunlar

Matematik Linkleri

Ayın Matematik Soruları

Yayın Ekibimiz

Ayın Matematik Sorusu[Ocak-2007]

Yarışmalar

Olimpiyat Soru Arşivi-7

Olimpiyat Soru Arşivi-6

Seçme Linkler[www.mathlinks.ro]

Olimpiyat Soru Arşivi-5

Olimpiyat Soru Arşivi-4

Olimpiyat Soru Arşivi-3

Olimpiyat Soru Arşivi-2

Olimpiyat Soru Arşivi-1

Bir Doğal Sayının Bir Tabana Göre Yazılması

Olasılık Sorusundan Analize Geçiş

Matematik Soruları

Faydalı Linkler