|
kilometre uzunluğunda bir ipimiz olduğunu düşünelim ve ipin ucunda da çok çok küçük bir solucan olduğunu varsayalım. Solucan ip üzerinde saniyede 1 cm.lik sabit hızla öbür uca doğru ilerliyor. İp ise her saniye sonunda bir lastik bant gibi gerilerek 1 kilometre uzuyor (ilk saniye sonunda 2 km., ikinci saniye sonunda 3km., …, n’inci saniyede n+1 uzunlukta oluyor) fakat örneğin solucan yari yoldaysa önündeki mesafe 500 m artıyor
Bu durumda solucan (ömrü yeterse!) ipin öbür ucuna varabilir mi? Varabilirse neden ve ne kadar zamanda varabilir?
Solucanın sonsuza kadar ipin sonunu bulmak için gideceğini düşünürsek sonsuz sürede sonsuz yol alabilir ve ip ne kadar uzarsa uzasın sonunda ipin sonuna ulaşır diyebilirsiniz fakat ipin ucu gittikçe uzaklaşıyor. Solucanın en son noktaya varabileceği pek garanti değil. Sonsuz yol gidecek olması bir şey ifade etmiyor. Çünkü ipin ucu da sonsuz km uzaklaşmış olur.
Bir ipucu:Her saniye sonunda solucanın ipin kaçta kaçlık bölümünü ardında bıraktığını hesaplayın.
Şimdi ipucundan yola çıkarak matematiksel dile aktarmaya çalışalım.
Önce soruyu iyice anlamalıyız. Her adımdan sonra ip uzuyor, ama ipin her tarafı uzuyor. Yani solucanın kat etmiş olduğu mesafe de kat etmediği mesafeyle aynı oranda uzuyor. O yüzden eğer solucan ipin ‘a’ oranında bir kısmını kat ettiyse, ip uzasa da bu oran sabit kalıyor.
Şimdi solucanın her adımda ipin kaçta kaçını kat ettiğini hesaplayalım. 1. adim aşikar, ip 100000cm, solucan 1 cm gitmiş, yani 1/100000. İkinci adim ip 200000cm oldu solucan hala 1 cm gidiyor, yani 1/200000. 3. adim 1/300000 ve k. adım da 1/(kx100000) olur. Şimdi 1/100000'e ‘s’ dersek k. adımdan sonra solucanın kat ettiği toplam mesafe:
k sonsuza giderken bu seri ıraksak olduğu için sonlu bir k için 1’i geçer ve solucan ipin 1/1’ini yani hepsini yürümüş olur. Şimdide olayı analiz boyutunda ele alarak ikinci sorduğumuz sorunun yanıtını aramaya çalışalım. (Ne kadar zamanda varabilir?)
L uzunluğunda türdeş bir ipimiz olsun. Yani seçilen her iki nokta için, arada kalan ip parçasının yoğunluğu sabit olsun. Bunun üzerine bir koordinat sistemi yerleştirelim (örneğin x), soldaki ucunu sabitleyip (x = 0 olsun bu) sağ ucundan çekmeye başlayalım. Diyelim uzunluğu L' olana kadar uzattık. Bu durumda x = 0 hariç her noktanın yeri değişir. İpin üzerindeki bir x noktasının yeni koordinatı x' olsun. Yoğunluk değişti tabii. Ama türdeşlik özelliği devam edecekse, x'/x=L'/L olmalıdır. Şöyle de diyebiliriz: ipin üzerindeki her x için, uzama miktarının x'e oranı bir sabittir. Bunu aklımızda tutalım. Şimdi soruya dönelim. İpi yine x = 0 noktasından sabitleyip diğer ucundan çekmeye başlayacağız. Olay t = 0 anında başlasın. Yani hem ipi çekmeye başlayacağız, hem de solucan ipin sabit olmayan ucundan sabit ucuna doğru harekete geçecek. İpi sabit hızla çekeceğiz (1 km/s). Yani ipin uzunluğu u ise, du/dt =1 km/s olacak. Bu durumda u(0)=1 olduğunu da düşünürsek, u(t) = 1 + t olur. Bu aynı zamanda herhangi bir t anında ipin sağ ucunun koordinatını da verir. Bu t anında ipin herhangi bir x noktasını düşünelim. Dt kadar bir zaman daha geçsin. Bu x noktasının yeni koordinati x + Dx olur. Yani uzama miktarı Dx kadar. İpin sağ uç noktasının koordinati da 1 + t + Dt olur. Yani uzama miktarı Dt kadar. Yukarıdaki eşitlik sağlanmalı. Yani Dt/(1 + t) = Dx/x olmalıdır. Şimdi Dt --> 0 için, dx/dt = x/(1+t) oldu. Yani ipin üzerindeki bir x noktasının t anındaki hızını bulduk. Solucanımız da yürümeye devam ediyor tabii. Onun bulunduğu noktaya s diyelim. Solucan tam s'nin üzerindeyken, hızı s/(1+t)-0.00001'dir(İpin üzerinde kaymıyorsa). Yani,
ds/dt = s/(1+t)-0.00001 olmalıdır. Yanıtı vereyim, (denkleme koyup deneyebilir isteyen).
s(t) = (1+t)(1-0.00001ln(1+t)) ifadesi bu denklemin s(0) = 1 koşulunu sağlayan tek çözümüdür.
| 